『数据结构』树

1. 概念

  • 双亲
  • 左右孩子
  • 左右子树
  • 森林
  • 结点,叶子,边,路径
  • 高度 h
  • 遍历(前中后层)
  • 结点数 n

2. 二叉查找树

又名排序二叉树,对于每个结点, 如果有,其左孩子不大于它,右孩子不小于它

通过前序遍历或者后序遍历就可以得到有序序列(升序,降序)

常用三种操作, 插入,删除,查找,时间复杂度是 $O(h)$
h是树高, 但是由于插入,删除而导致树不平衡, 即可能 $h\geqslant \lfloor logn \rfloor$

2.1. 随机构造的二叉查找树

下面可以证明,随机构造,即输入序列有 $n!$中, 每种概率相同的情况下, 期望的树高 $h=O(logn)$

(直接搬运算法导论上面的啦>_<)

2.2. 平均结点深度

一个较 上面定理 弱的结论:

一棵随机构造的二叉查找树,n 个结点的平均深度为 $O(logn)$

类似 RANDOMIZED-QUICKSORT 的证明过程, 因为快排 递归的过程就是一个递归 二叉树.
随机选择枢纽元就相当于这里的某个子树的根结点 在所有结点的大小随机排名, 如 i. 然后根结点将剩下的结点划分为左子树(i-1)个结点, 右子树(n-i)个结点.


2.3. 不同的二叉树数目(Catalan num)

给定$\{1,2,\ldots,n\}$,组成二叉查找树的数目.
由上面的证明过程, 可以容易地分析得出, 任选第 i 个数作为根, 由于二叉查找树的性质, 其左子树
应该有 i-1个结点, 右子树有 n-i个结点.
如果记 n 个结点 的二叉查找树的数目为$b_n$
则有递推公式

然后我们来看<<算法导论>>(p162,思考题12-4)上怎么求的吧( •̀ ω •́ )y
设生成函数

下面证明$B(x)=xB(x)^2+1$
易得
对比$B(x), xB(x)^2+1$的 x 的各次系数,分别是 $b_k,a_{k}$
当 k=0, $a_k=1=b_k$
当 k>0

所以$B(x)=xB(x)^2+1$
由此解得

在点 x=0 处,
用泰勒公式得

所以对应系数

这个数叫做 Catalan 数

2.4. 好括号列

王树禾的<<图论>>(p42)上用另外的方法给出Catalan数, 并求出n结点 二叉查找数的个数

首先定义好括号列,有:

  • 空列,即没有括号叫做好括号列
  • 若A,B都是好括号列, 则串联后 AB是好括号列
  • 若A是好括号列, 则 (A)是好括号列

充要条件: 好括号列 $\Longleftrightarrow$ 左右括号数相等, 且从左向右看, 看到的右括号数不超过左括号数

定理: 由 n个左括号,n个右括号组成的好括号列个数为$c(n)=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}$

证明:
由 n左n右组成的括号列有 $\frac{2n}{n!n!}=C_{2n}^{n}$个.
设括号列$a_1a_2\ldots a_{2n}$为坏括号列,
由充要条件, 存在最小的 j, 使得$a_1a_2\ldots a_{j}$中右括号比左括号多一个,
由于是最小的 j, 所以 $a_j$为右括号, $a_{j+1}$为右括号
把$a_{j+1}a_{j+2}\ldots a_{2n}$中的左括号变为右括号, 右变左,记为$\bar a_{j+1}\bar a_{j+2}\ldots \bar a_{2n}$

则括号列$a_1a_2\ldots a_{j}\bar a_{j+1}$为好括号列
$a_1a_2\ldots a_{j}\bar a_{j+1}\bar a_{j+2}\ldots \bar a_{2n}$可好可坏,且有n-1个右,n+1个左, 共有$\frac{2n}{(n+1)!(n-1)!}=C_{2n}^{n+1}$个.

所以坏括号列$a_1a_2\ldots a_{2n}$ 与括号列 $a_1a_2\ldots a_{j}\bar a_{j+1}\bar a_{j+2}\ldots \bar a_{2n}$, 有$\frac{2n}{(n+1)!(n-1)!}=C_{2n}^{n+1}$个

那么好括号列有

推论: n个字符,进栈出栈(出栈可以在栈不为空的时候随时进行), 则出栈序列有 c(n)种

这种先入后出的情形都是这样

3. 基数树(radixTree)


4. 字典树(trie)

又叫前缀树(preifx tree).适用于储存有公共前缀的字符串集合. 如果直接储存, 而很多字符串有公共前缀, 会浪费掉存储空间.
字典树可以看成是基数树的变形, 每个结点可以有多个孩子, 每个结点存储的是一个字符, 从根沿着结点走到一个结点,走过的路径形成字符序列, 如果有合适的单词就可以输出.

当然,也可以同理得出后缀树

4.1. AC 自动机

Aho-Corasick automation,是在字典树上添加匹配失败边(失配指针), 实现字符串搜索匹配的算法.

图中蓝色结点 表示存在字符串, 灰色表示不存在.
黑色边是父亲到子结点的边, 蓝色边就是失配指针.

蓝色边(终点称为起点的后缀结点): 连接字符串终点到在图中存在的, 最长严格后缀的结点. 如 caa 的严格后缀为 aa,a, 空. 而在图中存在, 且最长的是字符串 a, 则连接到这个字符串的终点 a.

绿色边(字典后缀结点): 终点是起点经过蓝色有向边到达的第一个蓝色结点.

下面摘自 wiki

在每一步中,算法先查找当前节点的 “孩子节点”,如果没有找到匹配,查找它的后缀节点(suffix) 的孩子,如果仍然没有,接着查找后缀节点的后缀节点的孩子, 如此循环, 直到根结点,如果到达根节点仍没有找到匹配则结束。

当算法查找到一个节点,则输出所有结束在当前位置的字典项。输出步骤为首先找到该节点的字典后缀,然后用递归的方式一直执行到节点没有字典前缀为止。同时,如果该节点为一个字典节点,则输出该节点本身。

输入 abccab 后算法的执行步骤如下:

5. 平衡二叉树

上面的二叉查找树不平衡,即经过多次插入,删除后, 其高度变化大, 不能保持$\Theta(n)$的性能
而平衡二叉树就能.
平衡二叉树都是经过一些旋转操作, 使左右子树的结点高度相差不大,达到平衡
有如下几种

5.1. AVL Tree

平衡因子: 右子树高度 - 左子树高度
定义: 每个结点的平衡因子属于{0,-1,1}
AVL_Tree_Example(from wiki).gif

from wiki

5.2. splayTree

伸展树, 它的特点是每次将访问的结点通过旋转旋转到根结点.
其实它并不平衡. 但是插入,查找,删除操作 的平摊时间是$O(logn)$
有三种旋转,下面都是将访问过的 x 旋转到 根部

5.2.1. Zig-step

zig

5.2.2. Zig-zig step

zig-zig

5.2.3. Zig-zag step

zig-zag

5.3. read-black Tree

同样是平衡的二叉树, 以后单独写一篇关于红黑树的.

5.4. treap

前面提到, 随机构造的二叉查找树高度为 $h=O(logn)$,以及在算法 general 中说明了怎样 随机化(shuffle)一个给定的序列.

所以,为了得到一个平衡的二叉排序树,我们可以将给定的序列随机化, 然后再进行构造二叉排序树.

但是如果不能一次得到全部的数据,也就是可能插入新的数据的时候,该怎么办呢? 可以证明,满足下面的条件构造的结构相当于同时得到全部数据, 也就是随机化的二叉查找树.

treap

这种结构叫 treap, 不仅有要排序的关键字 key, 还有随机生成的,各不相等的关键字priority,代表插入的顺序.

  • 二叉查找树的排序性质: 双亲结点的 key 大于左孩子,小于右孩子
  • 最小(大)堆的堆序性质: 双亲的 prority小于(大于) 孩子的 prority

插入的实现: 先进行二叉查找树的插入,成为叶子结点, 再通过旋转 实现 上浮(堆中术语).
将先排序 key, 再排序 prority(排序prority 时通过旋转保持 key 的排序)

6. 总结

还有很多有趣的树结构,
比如斜堆, 竞赛树(赢者树,输者树,线段树, 索引树,B树, fingerTree(不知道是不是译为手指树233)…
这里就不详细介绍了, 如果以后有时间,可能挑几个单独写一篇文章

7. 附代码

github地址

7.1. 二叉树(binaryTree)

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from functools import total_ordering

@total_ordering
class node:
def __init__(self,val,left=None,right=None,freq = 1):
self.val=val
self.left=left
self.right=right
self.freq = freq
def __lt__(self,nd):
return self.val<nd.val
def __eq__(self,nd):
return self.val==nd.val
def __repr__(self):
return 'node({})'.format(self.val)

class binaryTree:
def __init__(self):
self.root=None
def add(self,val):
def _add(nd,newNode):
if nd<newNode:
if nd.right is None:nd.right = newNode
else:_add(nd.right,newNode)
elif nd>newNode:
if nd.left is None:nd.left = newNode
else : _add(nd.left,newNode)
else:nd.freq +=1
_add(self.root,node(val))
def find(self,val):
prt= self._findPrt(self.root,node(val),None)
if prt.left and prt.left.val==val:
return prt.left
elif prt.right and prt.right.val==val:return prt.right
else :return None
def _findPrt(self,nd,tgt,prt):
if nd==tgt or nd is None:return prt
elif nd<tgt:return self._findPrt(nd.right,tgt,nd)
else:return self._findPrt(nd.left,tgt,nd)
def delete(self,val):
prt= self._findPrt(self.root,node(val),None)
if prt.left and prt.left.val==val:
l=prt.left
if l.left is None:prt.left = l.right
elif l.right is None : prt.left = l.left
else:
nd = l.left
while nd.right is not None:nd = nd.right
nd.right = l.right
prt.left = l.left
elif prt.right and prt.right.val==val:
r=prt.right
if r.right is None:prt.right = r.right
elif r.right is None : prt.right = r.left
else:
nd = r.left
while nd.right is not None:nd = nd.right
nd.right = r.right
prt.left = r.left

def preOrder(self):
def _p(nd):
if nd is not None:
print(nd)
_p(nd.left)
_p(nd.right)
_p(self.root)

7.2. 前缀树(Trie)

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class node:
def __init__(self,val = None):
self.val = val
self.isKey = False
self.children = {}
def __getitem__(self,i):
return self.children[i]
def __iter__(self):
return iter(self.children.keys())
def __setitem__(self,i,x):
self.children[i] = x
def __bool__(self):
return self.children!={}
def __str__(self):
return 'val: '+str(self.val)+'\nchildren: '+' '.join(self.children.keys())
def __repr__(self):
return str(self)

class Trie(object):

def __init__(self):
self.root=node('')
self.dic ={'insert':self.insert,'startsWith':self.startsWith,'search':self.search}

def insert(self, word):
"""
Inserts a word into the trie.
:type word: str
:rtype: void
"""
if not word:return
nd = self.root
for i in word:
if i in nd:
nd = nd[i]
else:
newNode= node(i)
nd[i] = newNode
nd = newNode
else:nd.isKey = True
def search(self, word,matchAll='.'):
"""support matchall function eg, 'p.d' matchs 'pad' , 'pid'
"""
self.matchAll = '.'
return self._search(self.root,word)
def _search(self,nd,word):
for idx,i in enumerate(word):
if i==self.matchAll :
for j in nd:
bl =self._search(nd[j],word[idx+1:])
if bl:return True
else:return False
if i in nd:
nd = nd[i]
else:return False
else:return nd.isKey
def startsWith(self, prefix):
"""
Returns if there is any word in the trie that starts with the given prefix.
:type prefix: str
:rtype: bool
"""
nd = self.root
for i in prefix:
if i in nd:
nd= nd[i]
else:return False
return True
def display(self):
print('preOrderTraverse data of the Trie')
self.preOrder(self.root,'')
def preOrder(self,root,s):
s=s+root.val
if root.isKey:
print(s)
for i in root:
self.preOrder(root[i],s)

7.3. 赢者树(winnerTree)

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class winnerTree:
'''if i<lowExt p = (i+offset)//2
else p = (i+n-1-lowExt)//2
offset is a num 2^k-1 just bigger than n
p is the index of tree
i is the index of players
lowExt is the double node num of the lowest layer of the tree
'''
def __init__(self,players,reverse=False):
self.n=len(players)
self.tree = [0]*self.n
players.insert(0,0)
self.players=players
self.reverse=reverse
self.getNum()
self.initTree(1)
def getNum(self):
i=1
while 2*i< self.n:i=i*2
if 2*i ==self. n:
self.lowExt=0
self.s = 2*i-1
else:
self.lowExt = (self.n-i)*2
self.s = i-1
self.offset = 2*i-1
def treeToArray(self,p):
return 2*p-self.offset if p>self.s else 2*p+self.lowExt-self.n+1
def arrayToTree(self,i):
return (i+self.offset)//2 if i<=self.lowExt else (i-self.lowExt+ self.n-1)//2
def win(self,a,b):
return a<b if self.reverse else a>b
def initTree(self,p):
if p>=self.n:
delta = p%2 #!!! good job notice delta mark the lchild or rchlid
return self.players[self.treeToArray(p//2)+delta]
l = self.initTree(2*p)
r = self.initTree(2*p+1)
self.tree[p] = l if self.win(l,r) else r
return self.tree[p]
def winner(self):
idx = 1
while 2*idx<self.n:
idx = 2*idx if self.tree[2*idx] == self.tree[idx] else idx*2+1
num = self.treeToArray(idx)
num = num+1 if self.players[num] !=self.tree[1] else num
return self.tree[1],num
def getOppo(self,i,x,p):
oppo=None
if 2*p<self.n:oppo=self.tree[2*p]
elif i<=self.lowExt:oppo=self.players[i-1+i%2*2]
else:
lpl= self.players[2*p+self.lowExt-self.n+1]
oppo = lpl if lpl!=x else self.players[2*p+self.lowExt-self.n+2]
return oppo
def update(self,i,x):
''' i is 1-indexed which is the num of player
and x is the new val of the player '''
self.players[i]=x
p = self.arrayToTree(i)
oppo =self.getOppo(i,x,p)
self.tree[p] = x if self.win(x,oppo) else oppo
p=p//2
while p:
l = self.tree[p*2]
r = None
if 2*p+1<self.n:r=self.tree[p*2+1] #notice this !!!
else:r = self.players[2*p+self.lowExt-self.n+1]
self.tree[p] = l if self.win(l,r) else r
p=p//2

7.4. 左斜堆

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from functools import total_ordering
@total_ordering

class node:
def __init__(self,val,freq=1,s=1,left=None,right=None):
self.val=val
self.freq=freq
self.s=s
if left is None or right is None:
self.left = left if left is not None else right
self.right =None
else:
if left.s<right.s:
left,right =right, left
self.left=left
self.right=right
self.s+=self.right.s
def __eq__(self,nd):
return self.val==nd.val
def __lt__(self,nd):
return self.val<nd.val
def __repr__(self):
return 'node(val=%d,freq=%d,s=%d)'%(self.val,self.freq,self.s)

class leftHeap:
def __init__(self,root=None):
self.root=root
def __bool__(self):
return self.root is not None
@staticmethod
def _merge(root,t): #-> int
if root is None:return t
if t is None:return root
if root<t:
root,t=t,root
root.right = leftHeap._merge(root.right,t)
if root.left is None or root.right is None:
root.s=1
if root.left is None:
root.left,root.right = root.right,None
else:
if root.left.s<root.right.s:
root.left,root.right = root.right,root.left
root.s = root.right.s+1
return root
def insert(self,nd):
if not isinstance(nd,node):nd = node(nd)
if self.root is None:
self.root=nd
return
if self.root==nd:
self.root.freq+=1
return
prt =self. _findPrt(self.root,nd,None)
if prt is None:
self.root=leftHeap._merge(self.root,nd)
else :
if prt.left==nd:
prt.left.freq+=1
else:prt.right.freq+=1
def remove(self,nd):
if not isinstance(nd,node):nd = node(nd)
if self.root==nd:
self.root=leftHeap._merge(self.root.left,self.root.right)
else:
prt = self._findPrt(self.root,nd,None)
if prt is not None:
if prt.left==nd:
prt.left=leftHeap._merge(prt.left.left,prt.left.right)
else:
prt.right=leftHeap._merge(prt.right.left,prt.right.right)
def find(self,nd):
if not isinstance(nd,node):nd = node(nd)
prt = self._findPrt(self.root,nd,self.root)
if prt is None or prt==nd:return prt
elif prt.left==nd:return prt.left
else:return prt.right
def _findPrt(self,root,nd,parent):
if not isinstance(nd,node):nd = node(nd)
if root is None or root<nd:return None
if root==nd:return parent
l=self._findPrt(root.left,nd,root)
return l if l is not None else self._findPrt(root.right,nd,root)
def getTop(self):
return self.root
def pop(self):
nd = self.root
self.remove(self.root.val)
return nd
def levelTraverse(self):
li = [(self.root,0)]
cur=0
while li:
nd,lv = li.pop(0)
if cur<lv:
cur=lv
print()
print(nd,end=' ')
else:print(nd,end=' ')
if nd.left is not None:li.append((nd.left,lv+1))
if nd.right is not None:li.append((nd.right,lv+1))
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